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第1章 两种类型作物模型

D. 瓦拉赫

1. 引言
2. 作物模型是一个动力学系统模型
3. 作物模型是一个响应模型
4. 作物模型的使用，哪个类型？
5. 结论
6. 练习

1. 引言

作物模型是描述在作物与土壤相互影响的情况下作物生长和发育过程的数学模型。作物模型可分为两种不同的类型，且两者相互补充。首先，作物模型可被看作微分方程或差分方程，用于描述作物-土壤系统的动力学过程。第二，模型可看成是一组解释变量函数的响应方程。在本章我们提出并讨论了这两种观点，并依据这两种观点，我们在本章描述了两种不同的方法。

2. 作物模型是一个动力学系统模型

动力学系统模型随离散时间变化的一般形式是 其中t是时间，Δt是时间增量， U(t) = [U₁(t)。. . US(t)]^T为于时间t时状态变量的向量，X(t)为于时间t时解释变量的向量，θ参数向量，g是某些函数。对于作物模型，Δt常为1 d。状态变量U(t)包括叶面积指数(单位土地面积上的叶面积)、干物质、根长、各土层土壤水分含量等。解释变量X(t)通常包括初始条件(如初始土壤湿度)、土壤特征(如最大持水量)、气候变量(如每日最高和高低温度)和管理变量(如灌水日期和灌水量)。第9章包括了一个对作物模型模拟过程的综述。方程(1)描述了状态变量随时间变化的变化过程。

方程(1)描述了一个有几个相互作用状态变量的系统。

为了说明模型，我们假定了一个简单作物模型，有温度和TT、植株干物质B和叶面积指数LAI　3个状态变量。该方程是：

j表示天数。该模型的时间步长 t 为1 d。解释变量TMIN(j)、TMAX(j)和I(t)分别为第j天的最低温度、最高温度、和太阳辐射量。参数T _base 为植物生长基点温度，参数RUE为辐射利用效率，参数K为消光系数，参数α(t)为叶面积指数增长相对速率， 参数LAI_max 为最大叶面积指数，参数TT _M 作物成熟所需的积温和TT _L 为叶面积增长结束时的积温。

2.1. 动力学系统模型的二个要素

2.1.1. 状态变量U(t)

状态变量在动力学系统模型中发挥着重要作用。状态变量集合决定了所研究系统包括哪些因子。这就涉及到一个基本选择，例如，如果所研究系统需要考虑土壤矿质氮，那么就把土壤矿质氮作为一个状态变量，并在模型里增加一个方程，用于描述土壤矿质氮随时间的变化过程。如果所研究系统没有把土壤矿质氮作为状态变量，也可以作为解释变量，这样土壤矿质氮对植株生长和发育的影响也可以被考虑到系统里。然而，如果把土壤矿质氮作为解释变量，那么土壤矿质氮随时间变化的值就需要我们提供给模型，因为模型不能计算这些值。系统把土壤矿质氮作为状态变量或解释变量，所造成的系统局限性不同。

状态变量选择也同样重要。假设于时间t时状态变量描述了此刻系统状态，这足以计算系统未来发展轨迹。例如，只有根长一个状态变量，而没有其它描述根几何形态的状态变量，这意味着可以根据根长计算系统的变化。此外，系统不需要以前根长测定值。如果知道时间t时的所有状态变量，这些状态变量对系统的影响都可以知道。

如公式(1)所示的动力学模型，我们很容易区分出哪些是状态变量。因为状态变量的值决定了未来系统发展轨迹，状态变量既可以出现在方程式的左边，也可以出现在方程的右边。如果状态变量出现在方程的左边，模型可以计算这个状态变量。

2.1.2. 解释变量和参数(X(t), θ)

解释变量同样意味着哪些因子决定着系统动力学过程。在关于模型评价的章节，我们将仔细讨论解释变量选择对模型预测效果的影响。简言之，增加额外解释变量有完全相反的两种影响。一方面，增加解释变量使我们可以更多解释系统变化，因此也可能提高系统预测效果。另一方面，增加额外解释变量通常需要增加额外的公式，以及估计更多的参数，这也将导致额外误差，从而降低预测准确性。

事实证明，解释变量和参数只能出现在公式(1)的右边。解释变量和参数参与系统动力学过程计算，但并不计算它们本身。解释变量和参数是有区别的，解释变量在模型应用的每种情况，都需要我们重新测定解释变量或根据已有测定值进行估计。例如，每块田的最大土壤水分持水量都需要测定，或根据已有的土壤结构计算出最大土壤水分持水量。解释变量随环境变化而有所变化，而在各种情况下参数总是固定的。

2.2. 动力学方程的随机因素

我们把动力学方程写成等式，但在实践中，方程两边只是近似值。像作物－土壤这种复杂的系统，其状态变量的实际演化过程依赖于大量因子。在作物模型里，通常把影响作物－土壤系统的的因子简化到一小部分，这些因子被认为最重要的。方程表达式通常选择简单的，也可能并不精确。因此，作物模型方程可表示为

其中，误差项ηi (t) 是一个随机变量。这是一个随机动力学方程。

动力学方程不确定性另一个主要来源是解释变量，特别是气候变量。当作物模型被用于预测，由于未来气候不可知，这就提高了系统随时间演化的不确定性。

3. 作物模型是响应模型

我们整合动力学系统模型的微分方程或差分方程。通常我们所说的”运行”模型，就是把这些方程嵌入到计算机程序里，并在计算机上进行数值计算。对于差分方程，于t = 0时，我们以初始值运行模型，在t = Δt时，动力学方程更新每个状态变量，在t = 2Δ >t时，动力学方程再次更新状态变量，依此类推，直到时间终止。

微分方程或差分方程整合的结果就是消除中间状态变量。状态变量只是在t 为 0 ~T−Δt之间的解释变量函数。即状态变量整合后就可以写成这个形式。

一般来说，我们只对一部分模型结果感觉兴趣。我们将这些模型结果称为模型响应变量。模型响应变量可以是于特定时间的状态变量，也可以是状态变量函数。响应变量包括：与系统性能直接相关的变量，如产量、氮总吸收量或根区氮总淋溶量；可以与观测值比较的变量，如叶面积指数和干物质；帮助我们理解系统动力学过程的变量，如每日水分胁迫。

请注意响应变量Y。根据方程(6) 响应变量方程可以写成这种形式

其中X表示从t = 0到时间结束时解释变量向量，θ与方程(1)θ是相同参数。当我们强调模型只是个近似值时，我们用Yˆ 代替Y。

3.1. 响应方程的随机因子

因为动力学方程只是近似估计，响应方程也只是近似估计。响应变量方程可以写成下面形式，包括误差。

其中ε 是随机变量此刻，我们暂时忽略X的不确定性。因为响应方程直接来自动力学方程，ε是方程(5)中误差传递过来的。不需要先定义动力学方程的误差，再推导响应方程的误差。另一种可选择方法是直接假定ε的分布。在这种情况下，方程(8)被视为一个标准的回归方程。如果有多个响应变量，我们处理(通常非线性)多元回归模型。

解释变量不能解释响应变量的所有变异，以及方程本身的可能误差。此外，解释变量也有不确定性，特别是当模型用于预测时，气候的不确定性更大。

4. 作物模型的使用哪个类型？

尽管由于研究目的的不同，我们将更多关注其中之一，但在研制和使用作物模型的过程中，我们既使用动力学方程，又使用响应方程。

在作物模型研制初期，通常使用动力学模型。使用动力学作物模型有几个原因。首先，我们有大量关于作物生长和发育潜在过程的信息，而在研究整个作物－土壤系统过程中，动力学方程让我们可以使用这些信息。第二个原因是，动力学方程让我们把复杂的作物－土壤系统分解为许多易于管理的小模块，并分别模拟这些小模块。没有动力学方程的中间步骤，直接研制响应模型也是可能的。但直接研制响应模型通常仅限于作物－土壤系统比较简单的表示。作物模型里的单个动力学方程也很简单，但在整个系统里这些简单的动力学方程结合起来，相互影响，就产生了复杂的响应方程。

在历史上，研究人员对作物模型存在两种截然不同的态度。一方面，作物模型可以认为是科学假说。检验假设就涉及到作物模型的两种形式。动力学方程就是科学假说，而检验这个假说就是比较响应方程与观测值。第二个态度是，作物模型是工程工具。关联输入变量和输出变量是有用的，但动力学方程不必准确模拟系统功能。动力学方程只是表示输入－输出关系的方法。在这种情况下，响应方程是主要研制人员最感兴趣的，而模型评价是检验输入－输出关系质量的方法。模型评价将在第二章中介绍。

特别是从工程角度来看，模型响应的一般行为（用解释变量函数表示）是我们感兴趣的，这也是最重要的。然而，通常响应方程不容易获得解析表达式，但在对动力学方程数值积分后就可以得到响应方程表达式。因此，从模型方程上直接分析输入变量对响应的影响就很困难，这也就导致敏感性分析的使用，即研究输入因子（解释变量和参数）如何影响响应模型的输出结果。敏感性分析将在第三章中介绍。

作物模型面临的最大问题就是如何获得参数值。模型复杂性意味着模型通常有许多参数（经常100个参数或更多）。另一方面，作物系统实验过程较长，且在土地、设备和人力花费较高，因而试验数据量通常很有限。如果我们只考虑响应方程，那么我们就遇到模型所有参数同时回归的问题。如果我们根据试验数据估计模型参数，这是不可能的或者造成模型参数有较大误差。然而，由于模型有两种类型，这使得我们有额外信息可用于参数估计。 特别是，当我们假定超出响应方程的适用范围，动力学方程还是有效的。这意味着，我们可以在其它条件下做一些关于某个过程的试验，而不需要在模型所要求的条件下做试验。例如，研究某些过程对温度的依赖性，我们就可在人工控制环境里做这些试验。我们可以使用独立于整个系统的数据估计参数。作物参数估计的问题将在第四章讨论。

对于作物模型来说，一个现实问题就是每个作物种类都有许多品种，并且育种家每年还要育成许多新品种。从作物模型的角度来看，至少某些模型参数是随品种变化的，因而这大大增加了参数估计的难度。这个问题的一个可能解决方法是，既使用动力学方程，又使用响应方程。一些品种参数可以在研究单个过程时获得，其它品种参数可以从响应方程中估计得到。这个解决方法将在第十章里介绍。我们可以在一个更基础的水平上对待这个问题，通过寻求与模型参数密切相关的遗传参数（见第十一章）。

数据同化是一个提高作物模型预测效果的方法，应用前景非常好。数据同化就是把实时数据导入到模型中，并相应调整状态变量值或参数。同化是根据方程(5)。在结合实时数据和模型结果时，为了确定实时数据和模型结果的各自权重，获得动力学方程误差估计是很有必要的。数据同化将在第五章中介绍。

作物模型的主要应用就是检验不同可能的管理措施。这个应用一个方面就是管理措施的数学优化。第六章介绍了两种不同的优化方法。第一种方法是，根据作物模型响应方程利用模型模拟进行优化。在这种方法里，管理措施被参数化，因此优化就是计算管理措施参数的值，并使目标函数最大化。这种优化方法仅依赖于少量模型响应变量，如产量或籽粒蛋白质含量。第二种优化方法把模型优化作为控制问题。这种方法就是把动力学方程看作是解释变量（包括管理决策在内）的函数，并计算转移概率从一个时间步到下一个时间步。

5. 结论

作物模型有动力学方程和响应方程两种形式，这即使作物模型结构及研制更加复杂，也使作物模型有更大优势。前者首先表现在模